Aula 2 - Análise Combinatória

Confira um resumo simples e objetivo sobre análise combinatória, apresentamos alguns exemplos para um melhor entendimento. O conteúdo é muito cobrado em concursos públicos e a matéria possui um nível de dificuldade alto.

1. Introdução:

Sandra vai a uma festa e está em dúvida entre 2 calças (azul ou vermelha) e 3 blusas (amarela, preta ou branca). De quantos modos distintos Sandra pode se vestir?

 Temos as seguintes opções:

– calça azul e blusa amarela;

– calça azul e blusa preta;

– calça azul e blusa branca;

– calça vermelha e blusa amarela;

– calça vermelha e blusa preta;

– calça vermelha e blusa branca;

Assim, para calcularmos as possibilidades, basta multiplicarmos 2 x 3 = 6 possibilidades.

  

2. Princípio Fundamental da Contagem (PFC)

 Este princípio generaliza o exemplo acima. Sempre que tivermos uma ação constituída de duas etapas, onde a primeira possui m possibilidades e a segunda possui n possibilidades, o número total de possibilidades será m x n.

 Exemplo 1:

Existem 4 estradas ligando as cidades de Linhares e Colatina e 3 estradas ligando Colatina e Vitoria. De quantas maneiras diferentes é possível ir de Linhares a Vitória, passando por Colatina?

Pelo PFC temos 4 x 3 = 12 maneiras diferentes

 Exemplo 2:

 Jennifer possui 6 blusas, 4 saias e 3 sandálias. Quantas combinações diferentes ela pode fazer?

Pelo PFC temos 6 x 4 x 3 = 72 possibilidades

  

3. Fatorial de números naturais

 Seja um número natural n, definimos o fatorial de n (n!) da seguinte forma:

 a) 0! = 1

b) 1! = 1

c) n! = n . (n-1) … 3 . 2 . 1 (n diferente de 0 e 1)

Exemplos:

4! = 4.3.2.1 = 24

6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

4. Arranjos

Seja o conjunto {1, 2, 3, 4, 5}, vamos descobrir todos os arranjos desse conjunto tomados 2 a 2. Veja:

(1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (2, 1); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (3, 1); (3, 2); (3, 4); (3, 5); (4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 5); (5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4);

Note que estamos considerando (1, 2) diferente de (2, 1). Neste caso, o número de arranjos será calculado da seguinte forma:

 
 
 

Generalizando, para um arranjo de n elementos, tomados k a k, onde a ordem é importante:

An,k = n! / (n-k)!

5. Permutações com elementos distintos 

Vamos definir permutação de n elementos todo arranjo desses n elementos tomados n a n. 

Veja o exemplo:

Vamos escrever todos os anagramas que podem ser escritos pelas letras ABC: 

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

 Veja que a diferença entre permutações e arranjos é que em permutações, n = k, ou seja, são n elementos tomados n a n. No exemplo, são 3 elementos, tomados 3 a 3.

 Generalizando, para uma permutação de n elementos distintos:

Pn = n!

6. Permutações com elementos repetidos

Para calcularmos o número de anagramas que podem ser formados a partir de RATO é fácil.

Vimos que P4 = 4! = 24

 Vamos agora estudar os casos onde existem elementos iguais. Veja o exemplo:

 Vamos escrever todos os anagramas que podem ser escritos pelas letras da palavra CAPA:

 CAPA, CAAP, CPAA, ACPA, APCA, APAC, ACAP, AACP, AAPC, PCAA, PACA, PAAC

 São apenas 12. A diminuição deve-se ao fato da letra A aparecer duas vezes.

 Generalizando, para uma permutação de n elementos, onde aparecem elementos n1, n2, …, nt repetidos:

Pn = n! / n1!.n2!…nt!

 Exemplo 1:

Anagramas que podem ser formados a partir da palavra CORRER:

Devemos observar que a letra R aparece 3 vezes:

P6 = 6! / 3! = 6.5.4 = 120

Exemplo 2:

Anagramas que podem ser formados a partir da palavra SOSSEGADO:

Devemos observar que a letra S aparece 3 vezes e a letra O aparece 2x.

P9 = 9! / 3!.2! = 30240

7. Combinações

 Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, vamos determinar todos os subconjuntos formados por 2 elementos de A:

 (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (3, 4); (3, 5); (4, 5);

 Note que estamos considerando (1, 2) igual a (2, 1). Neste caso, o número de combinações será calculado da seguinte forma:

  

 
Generalizando, para uma combinação de n elementos, tomados k a k, onde a ordem não é importante:

Cn,k = n! / k!(n-k)!